Matematica: scienza del possibile
La terza concezione fondamentale della matematica è quella propria della corrente formalistica e si può esprimere dicendo che per essa la matematica è la scienza del possibile; dove per possibile s'intende ciò che non implica contraddizione.
Da questo punto di vista, la matematica non è parte della logica e non la presuppone. Secondo la concezione formalistica, sviluppata da Hilbert e dalla sua scuola nel corso del anni Venti del Novecento, la matematica può essere costruita come un semplice calcolo, senza esigere alcuna interpretazione.
Essa diventa allora un sistema assiomatico nel quale:
1) tutti i concetti di base e tutte le relazioni di base siano enumerate completamente, e sia ricondotto ad essi, mediante una definizione, ogni concetto ulteriore;
2) gli assiomi siano enumerati completamente e da essi siano dedotti tutti gli altri enunciati in modo conforme alle relazioni di base. In un sistema siffatto, la dimostrazione matematica è un procedimento puramente meccanico di derivazione di formule; ma nello stesso tempo si aggiunge alla matematica formale una metamatematica che è costituita da ragionamenti finalistici intorno alla matematica.
" In tal modo, ha detto Hilbert, si realizza, mediante scambi continui, lo sviluppo della totalità della scienza matematica, in due modi: derivando dagli assiomi nuove formule dimostrabili mediante deduzioni formali e d'altra parte aggiungendo nuovi assiomi e la prova di non contraddizione, per mezzo di ragionamenti che hanno un contenuto".
Le matematiche costituiscono allora un sistema perfettamente autonomo; cioè che non presuppone un limite o una guida fuori di sé e che si sviluppa in tutte le direzioni possibili: intendendosi, per direzioni possibili, quelle che non portano a contraddizioni.
E' pertanto essenziale per questa concezione della matematica determinare la possibilità (cioè la non-contraddittorietà) dei sistemi assiomatici. Ma proprio questa possibilità è stata messa in discussione da un teorema dimostrato da Godel nel 1931, secondo il quale non è possibile dimostrare la non contraddittorietà di un sistema formale S, abbastanza potente da comprendere l'aritmetica dei numeri naturali, con i mezzi (assiomi, definizioni, regole di deduzione ecc..) che appartengono allo stesso sistema S.
Questo teorema di Godel ha avuto una grande influenza sulla matematica e la filosofia della matematica moderne. Tenendo conto delle limitazioni imposte dal teorema di Godel e ricorrendo a metodi più potenti di quelli finitisti previsti dal programma hilbertiano, nel 1936 Gentzen riuscì a dimostrare la non contraddittorietà dell'aritmetica. Quanto alla dimostrazione della non contraddittorietà dell'intera matematica, essa è ovviamente esclusa dalla stessa formulazione del teorema di Godel. Il quale ha mostrato anche il limite dell'assiomatica, perché ha mostrato come nessun sistema assiomatico contiene "tutti" gli assiomi possibili.
Altra conseguenza del teorema di Godel è una limitazione delle capacità delle macchine calcolatrici, la cui costruzione è stata enormemente facilitata dal concetto formalistico della matematica. Si può infatti costruire una macchina per risolvere un problema definito, ma non una macchina che sia capace di risolvere ogni problema.
Da questo punto di vista, la matematica non è parte della logica e non la presuppone. Secondo la concezione formalistica, sviluppata da Hilbert e dalla sua scuola nel corso del anni Venti del Novecento, la matematica può essere costruita come un semplice calcolo, senza esigere alcuna interpretazione.
Essa diventa allora un sistema assiomatico nel quale:
1) tutti i concetti di base e tutte le relazioni di base siano enumerate completamente, e sia ricondotto ad essi, mediante una definizione, ogni concetto ulteriore;
2) gli assiomi siano enumerati completamente e da essi siano dedotti tutti gli altri enunciati in modo conforme alle relazioni di base. In un sistema siffatto, la dimostrazione matematica è un procedimento puramente meccanico di derivazione di formule; ma nello stesso tempo si aggiunge alla matematica formale una metamatematica che è costituita da ragionamenti finalistici intorno alla matematica.
" In tal modo, ha detto Hilbert, si realizza, mediante scambi continui, lo sviluppo della totalità della scienza matematica, in due modi: derivando dagli assiomi nuove formule dimostrabili mediante deduzioni formali e d'altra parte aggiungendo nuovi assiomi e la prova di non contraddizione, per mezzo di ragionamenti che hanno un contenuto".
Le matematiche costituiscono allora un sistema perfettamente autonomo; cioè che non presuppone un limite o una guida fuori di sé e che si sviluppa in tutte le direzioni possibili: intendendosi, per direzioni possibili, quelle che non portano a contraddizioni.
E' pertanto essenziale per questa concezione della matematica determinare la possibilità (cioè la non-contraddittorietà) dei sistemi assiomatici. Ma proprio questa possibilità è stata messa in discussione da un teorema dimostrato da Godel nel 1931, secondo il quale non è possibile dimostrare la non contraddittorietà di un sistema formale S, abbastanza potente da comprendere l'aritmetica dei numeri naturali, con i mezzi (assiomi, definizioni, regole di deduzione ecc..) che appartengono allo stesso sistema S.
Questo teorema di Godel ha avuto una grande influenza sulla matematica e la filosofia della matematica moderne. Tenendo conto delle limitazioni imposte dal teorema di Godel e ricorrendo a metodi più potenti di quelli finitisti previsti dal programma hilbertiano, nel 1936 Gentzen riuscì a dimostrare la non contraddittorietà dell'aritmetica. Quanto alla dimostrazione della non contraddittorietà dell'intera matematica, essa è ovviamente esclusa dalla stessa formulazione del teorema di Godel. Il quale ha mostrato anche il limite dell'assiomatica, perché ha mostrato come nessun sistema assiomatico contiene "tutti" gli assiomi possibili.
Altra conseguenza del teorema di Godel è una limitazione delle capacità delle macchine calcolatrici, la cui costruzione è stata enormemente facilitata dal concetto formalistico della matematica. Si può infatti costruire una macchina per risolvere un problema definito, ma non una macchina che sia capace di risolvere ogni problema.