Matematica: scienza delle costruzioni possibili
La quarta concezione fondamentale della matematica è quella secondo la quale essa è la scienza che ha per oggetto la possibilità della costruzione. Si tratta, come è evidente, di una concezione ispirata alla nozione kantiana della matematica come costruzione di concetti. Questo indirizzo è chiamato comunemente intuizionismo; ma i suoi precedenti si sogliano scorgere nella polemica antiformalistica di Poincaré, nell'opera di Kronecker, nella tendenza empiristica di alcuni matematici francesi (Borel, Lebesgue, Baire), nel filosofo viennese F Kaufmann ecc..
Secondo Brouwer, che dell'intuizionismo è stato il principale esponente, la matematica è creata in maniera indipendente dall'esperienza, a partire da un'intuizione fondamentale a priori, nella quale si possono ricondurre i numeri naturali. La matematica perciò non presuppone alcuna scienza, neppure la logica, ma esige piuttosto un'intuizione che permetta di cogliere l'evidenza dei concetti e delle conclusioni. Le conclusioni, pertanto, non devono essere derivate in virtù di regole fisse contenute in un sistema formalizzato, ma ogni conclusione deve essere direttamente controllata in base alla sua propria evidenza.
Da questo punto di vista, il procedimento di dimostrazione matematica non ha in vista le deduzione logica ma la costruzione di un sistema matematico. Brouwer insiste sul fatto che anche nel caso di una dimostrazione di impossibilità, ottenuta mettendo in vista una contraddizione, l'uso del principio di contraddizione è soltanto apparente: in realtà si tratta dell'affermazione che una costruzione matematica, la quale doveva soddisfare certe condizioni, non è realizzabile. Heyting a sua volta ha dimostrato, sulle orme dello stesso Brouwer, che mentre il principio di contraddizione può essere utilizzato, non così accade del principio del terzo escluso.
Per Brouwer infatti l'esistenza degli oggetti matematici era affidata a procedimenti costruttivi che escludevano sia l'infinito attuale sia il ricorso alle dimostrazioni per assurdo (basate sul principio del terzo escluso).
Richiamandosi alla formalizzazione data da Heyting della logica intuizionista, Godel ha dimostrato che con una opportuna interpretazione il calcolo preposizionale intuizionista si presenta come sottosistema del calcolo proposizionale classico e, con una diversa associazione di concetti avviene il contrario, il secondo calcolo è un sottosistema del primo.
Qualcosa di analogo avviene anche per l'aritmetica intuizionistica e quella classica, così che l'intuizionismo si presenta come una genuina restrizione di concetti classici solo per l'analisi o la teoria degli insiemi.
In una prospettiva ispirata all'intuizionismo si colloca anche il lavoro di Errett Bishop, che nel 1967 ha mostrato come si possa riottenere su basi costruttive un'ampia parte dell'analisi matematica classica.
Fonte:
Storia della filosofia, dizionario di filosofia di Nicola Abbagnano
Secondo Brouwer, che dell'intuizionismo è stato il principale esponente, la matematica è creata in maniera indipendente dall'esperienza, a partire da un'intuizione fondamentale a priori, nella quale si possono ricondurre i numeri naturali. La matematica perciò non presuppone alcuna scienza, neppure la logica, ma esige piuttosto un'intuizione che permetta di cogliere l'evidenza dei concetti e delle conclusioni. Le conclusioni, pertanto, non devono essere derivate in virtù di regole fisse contenute in un sistema formalizzato, ma ogni conclusione deve essere direttamente controllata in base alla sua propria evidenza.
Da questo punto di vista, il procedimento di dimostrazione matematica non ha in vista le deduzione logica ma la costruzione di un sistema matematico. Brouwer insiste sul fatto che anche nel caso di una dimostrazione di impossibilità, ottenuta mettendo in vista una contraddizione, l'uso del principio di contraddizione è soltanto apparente: in realtà si tratta dell'affermazione che una costruzione matematica, la quale doveva soddisfare certe condizioni, non è realizzabile. Heyting a sua volta ha dimostrato, sulle orme dello stesso Brouwer, che mentre il principio di contraddizione può essere utilizzato, non così accade del principio del terzo escluso.
Per Brouwer infatti l'esistenza degli oggetti matematici era affidata a procedimenti costruttivi che escludevano sia l'infinito attuale sia il ricorso alle dimostrazioni per assurdo (basate sul principio del terzo escluso).
Richiamandosi alla formalizzazione data da Heyting della logica intuizionista, Godel ha dimostrato che con una opportuna interpretazione il calcolo preposizionale intuizionista si presenta come sottosistema del calcolo proposizionale classico e, con una diversa associazione di concetti avviene il contrario, il secondo calcolo è un sottosistema del primo.
Qualcosa di analogo avviene anche per l'aritmetica intuizionistica e quella classica, così che l'intuizionismo si presenta come una genuina restrizione di concetti classici solo per l'analisi o la teoria degli insiemi.
In una prospettiva ispirata all'intuizionismo si colloca anche il lavoro di Errett Bishop, che nel 1967 ha mostrato come si possa riottenere su basi costruttive un'ampia parte dell'analisi matematica classica.
Fonte:
Storia della filosofia, dizionario di filosofia di Nicola Abbagnano