Matematica: scienza delle relazioni
La seconda concezione fondamentale della matematica è quella che la considera come scienza delle relazioni quindi come strettamente collegata con la logica o parte di essa.
L'antecedente di questa concezione si può trovare in Cartesio, che affermava: " Per quanto le scienza che si chiamano comunemente matematiche abbiano oggetti diversi, esse si accordano tutte in quanto non considerano altro che i diversi rapporti o proporzioni che si ritrovano in essi".
Il concetto leibniziano dell'ars combinatoria o matematica universale si può assumere certo come inizio del concetto della matematica come logica; ma esso non impediva allo stesso Leibniz di aderire ancora al concetto tradizionale della matematica come arte della quantità.
Ovviamente, la stretta connessione della matematica con la logica cominciò ad apparire in modo evidente come tratto caratteristico delle matematiche quando la logica stessa assunse la forma di un calcolo matematico. Boole affermava che poiché "le ultime leggi della logica sono matematiche nella loro forma", l'esibizione della logica nella forma di un calcolo non è un modo arbitrario di presentarla, ma qualcosa che dipende dalle stesse leggi del pensiero.
Soprattutto contribuì a inscrivere la matematica nel dominio della logica l'opera di Frege e la sua polemica contro lo psicologismo. In un saggio del 1884 Frege dimostrava l'importanza del concetto di relazione per la definizione del numero naturale e diceva: "Il concetto di relazione appartiene - non meno che il semplice concetto - al campo della logica pura. Qui non interessa il contenuto speciale della relazione ma esclusivamente la sua forma logica. Se qualcosa può venire affermata di essa, la verità di questo qualcosa risulta analitica e viene riconosciuta a priori".
Il punto di vista di Frege fu condiviso da Russell che vedeva la coincidenza tra matematica e logica proprio nell'ambito della teoria delle relazioni e riteneva che il tema comune delle due scienze fosse la forma degli enunciati, definita come "ciò che resta invariato quanto ogni componente dell'enunciato viene sostituito da un altro" cioè quando l'enunciato è rivolto alla pura relazione.
Dall'altro lato Peirce, pur ammettendo la connessione tra matematica e logica, avendo cercato di distinguere la matematica dalla logica, affermando che mentre la matematica è la scienza che deriva conclusioni necessarie, la logica è la scienza del modo in cui derivare conclusioni necessarie.
"Il logico non si cura particolarmente circa questa o quella ipotesi o circa le sue conseguenze eccetto in quanto queste cose possono gettar luce sulla natura del ragionamento. Il matematico è intensamente interessato ai metodi efficienti di ragionare mirando alla loro possibile estensione a nuovi problemi ma, in quanto matematico, non si preoccupa di analizzare quelle parti del suo metodo la cui correttezza è data come ovvia".
Questa distinzione era però fondata sulla nozione della logica come di una scienza categorica normativa: nozione che non ha avuto fortuna nella logica contemporanea, di cui si è sempre più accentuato il carattere convenzionale. Pertanto la migliore definizione della matematica, da questo punto di vista, è quella data da Wittgenstein: "La matematica è un metodo logico. Le proposizioni della matematica sono equazioni, dunque pseudo-proposizioni.
La proposizione matematica non esprime alcun pensiero. E infatti non è mai la proposizione matematica di cui abbiamo bisogno nella vita ma l'adoperiamo solo per concludere da proposizioni che non appartengono alla matematica ad alte che parimenti non le appartengono".
Le equazioni della matematica corrispondono alle tautologie della logica e, come queste, non dicono nulla. Un punto di vista analogo a questo è stato assunto da Carnap: " I calcoli costituiscono un genere particolare di calcoli logici, distinguendosene soltanto per la loro maggiore complessità. I calcoli geometrici sono un genere particolare di calcoli fisici".
Questa è la formulazione migliore della tesi del logicismo che considera la matematica come parte della logica.
Da questo punto di vista si tratta di derivare la matematica dalla logica nel modo seguente:
1) definendo tutti i concetti delle matematiche, cioè dell'aritmetica, dell'algebra, e dell'analisi, in termini di concetti della logica;
2) deducendo da queste definizioni e per mezzo dei principi della logica stessa (inclusi gli assiomi di infinità e di scelta) tutti i teoremi della matematica
L'antecedente di questa concezione si può trovare in Cartesio, che affermava: " Per quanto le scienza che si chiamano comunemente matematiche abbiano oggetti diversi, esse si accordano tutte in quanto non considerano altro che i diversi rapporti o proporzioni che si ritrovano in essi".
Il concetto leibniziano dell'ars combinatoria o matematica universale si può assumere certo come inizio del concetto della matematica come logica; ma esso non impediva allo stesso Leibniz di aderire ancora al concetto tradizionale della matematica come arte della quantità.
Ovviamente, la stretta connessione della matematica con la logica cominciò ad apparire in modo evidente come tratto caratteristico delle matematiche quando la logica stessa assunse la forma di un calcolo matematico. Boole affermava che poiché "le ultime leggi della logica sono matematiche nella loro forma", l'esibizione della logica nella forma di un calcolo non è un modo arbitrario di presentarla, ma qualcosa che dipende dalle stesse leggi del pensiero.
Soprattutto contribuì a inscrivere la matematica nel dominio della logica l'opera di Frege e la sua polemica contro lo psicologismo. In un saggio del 1884 Frege dimostrava l'importanza del concetto di relazione per la definizione del numero naturale e diceva: "Il concetto di relazione appartiene - non meno che il semplice concetto - al campo della logica pura. Qui non interessa il contenuto speciale della relazione ma esclusivamente la sua forma logica. Se qualcosa può venire affermata di essa, la verità di questo qualcosa risulta analitica e viene riconosciuta a priori".
Il punto di vista di Frege fu condiviso da Russell che vedeva la coincidenza tra matematica e logica proprio nell'ambito della teoria delle relazioni e riteneva che il tema comune delle due scienze fosse la forma degli enunciati, definita come "ciò che resta invariato quanto ogni componente dell'enunciato viene sostituito da un altro" cioè quando l'enunciato è rivolto alla pura relazione.
Dall'altro lato Peirce, pur ammettendo la connessione tra matematica e logica, avendo cercato di distinguere la matematica dalla logica, affermando che mentre la matematica è la scienza che deriva conclusioni necessarie, la logica è la scienza del modo in cui derivare conclusioni necessarie.
"Il logico non si cura particolarmente circa questa o quella ipotesi o circa le sue conseguenze eccetto in quanto queste cose possono gettar luce sulla natura del ragionamento. Il matematico è intensamente interessato ai metodi efficienti di ragionare mirando alla loro possibile estensione a nuovi problemi ma, in quanto matematico, non si preoccupa di analizzare quelle parti del suo metodo la cui correttezza è data come ovvia".
Questa distinzione era però fondata sulla nozione della logica come di una scienza categorica normativa: nozione che non ha avuto fortuna nella logica contemporanea, di cui si è sempre più accentuato il carattere convenzionale. Pertanto la migliore definizione della matematica, da questo punto di vista, è quella data da Wittgenstein: "La matematica è un metodo logico. Le proposizioni della matematica sono equazioni, dunque pseudo-proposizioni.
La proposizione matematica non esprime alcun pensiero. E infatti non è mai la proposizione matematica di cui abbiamo bisogno nella vita ma l'adoperiamo solo per concludere da proposizioni che non appartengono alla matematica ad alte che parimenti non le appartengono".
Le equazioni della matematica corrispondono alle tautologie della logica e, come queste, non dicono nulla. Un punto di vista analogo a questo è stato assunto da Carnap: " I calcoli costituiscono un genere particolare di calcoli logici, distinguendosene soltanto per la loro maggiore complessità. I calcoli geometrici sono un genere particolare di calcoli fisici".
Questa è la formulazione migliore della tesi del logicismo che considera la matematica come parte della logica.
Da questo punto di vista si tratta di derivare la matematica dalla logica nel modo seguente:
1) definendo tutti i concetti delle matematiche, cioè dell'aritmetica, dell'algebra, e dell'analisi, in termini di concetti della logica;
2) deducendo da queste definizioni e per mezzo dei principi della logica stessa (inclusi gli assiomi di infinità e di scelta) tutti i teoremi della matematica